Có bao nhiêu cách lắp ghép các mảnh khảm gồm các hình nhiều cạnh ?

Bạn có chú ý trong đời sống hàng ngày có bao nhiêu loại hình khảm, đó là các mảnh hình khảm ghép lại với nhau mà thành.

Yêu cầu của các hình khảm là khi các đường chu vi gặp nhau tổng các góc phải bằng 360o, nhờ vậy khi ghép chúng lại sẽ không có khe hở. Nếu dùng các mảnh khảm gồm các hình nhiều cạnh thì có bao nhiêu cách lắp ghép?

Trước hết xem xét từ khía cạnh các điểm gặp nhau của các hình có nhiều cạnh. Do các góc trong của các đa giác nhỏ nhất là 60o, lớn

nhất là 180o nên chỉ có các hình 3, 4, 5, 6 cạnh là có thể sử dụng. Ta thử xét ba tình huống. Ta gọi các hình đa giác có các số cạnh là x, y, z thì các góc trong sẽ là:

Khi ghép chúng lại với nhau để khảm thì :

Bởi vì 1/x + 1/y + 1/z = 1/2

Không kể trật tự sắp xếp của các số x, y, z thì phương trình này có 10 nhóm nghiệm là:

(3, 7, 42); (3, 8, 24); (3, 9, 18); (3, 10, 15); (3, 12, 12); (4, 5, 20); (4,

6, 12); (4, 8, 8); (5, 5, 10); (6, 6, 6).

Cũng với lí luận tương tự khi chọn phương án bốn loại đa giác ta có bốn nhóm nghiệm: (3, 3, 4, 12); (3, 3, 6, 6); (3, 4, 4, 6); (4, 4, 4, 4).

Với phương án năm loại đa giác sẽ có hai nhóm nghiệm (3, 3, 3, 3, 6) và (3, 3, 3, 4, 4), còn nếu dùng sáu loại đa giác thì chỉ có một nhóm nghiệm (3, 3, 3, 3, 3, 3).

Như vậy nếu xét theo quan điểm, điểm giao nhau của các đa giác đều có 17 loại cách phối trí khác nhau. Thế nhưng có phải cả 17 phương án này đều có thể sử dụng trong kĩ thuật nạm khảm. Thực tế chỉ có các đa giác đều có 3, 4, 6, 8, 12 cạnh là có thể ghép nối vào nhau để khảm làm 11 loại khảm ghép để lấp kín bề mặt mà không có khe hở, còn sáu loại đa giác khác chưa tìm được cách ghép thành công.

Thế thì từ 11 loại tình huống có thể có cách sắp xếp nào? Chúng ta có thể bàn đến bốn loại sắp xếp chính:

Các hình khảm đều: Tức là dùng cách lắp ghép các đa giác cùng loại như ở các hình vẽ 1 - 3. Chỉ có 3 loại lắp ghép (6, 6, 6); (4, 4, 4, 4) và (3, 3, 3, 3, 3).

Các hình khảm nửa đều: Dùng cách lắp ghép các hình đa giác không đồng nhất nhưng số điểm giao nhau của đường biên các đa giác đều giống nhau như ở các hình vẽ từ 4 - 9. Có 6 loại (3, 12, 12); (4, 8, 8); (3, 3, 6, 6); (3, 4, 4, 6); (3, 3, 3, 6) và (3, 3, 3, 4, 4).

Các hình khảm đều đặn: Số giao điểm của các đường biên các đa giác là giống nhau, chỉ có thứ tự sắp xếp khác nhau như ở các hình vẽ 10 - 13. Loại khảm này dựa vào giao điểm các đường biên của các đa giác theo một thứ tự nhất định, nhưng vị trí tương đối của các giao điểm là vô hạn. Ví dụ nếu dịch chuyển ô giữa của hình 11 sang bên phải một ô ta sẽ có một loại đồ hình khảm khác. Nếu cách 1, 2, 3... hàng di chuyển sang phải một ô sẽ được một hình khảm khác. Vì vậy ở hình khảm này ta sẽ thu được nhiều loại.

Các hình khảm không đều đặn: Các giao điểm của các đường biên của các đa giác không giống nhau, số giao điểm cũng không giống nhau. Các hình khảm này cũng có vô số loại.

Ngoài các phương án kể trên người ta có thể sử dụng các hình tam giác, hình bốn cạnh không đều hoặc các đường gấp khúc, cũng nhận được các hình khảm tinh xảo.

Bạn đọc thêm :