Làm thế nào bạn có thể tạo được một hình chữ nhật hoàn chỉnh ?

Giả sử có mảnh ván hình chữ nhật, hình chữ nhật này có hai cạnh song song đã hoàn hảo, hai cạnh đối diện còn lại lại nham nhở, làm thế nào bạn có thể tạo được một hình chữ nhật hoàn chỉnh. Để tạo hình chữ nhật, ta phải cắt đường biên nham nhở theo một đường vuông góc với hai cạnh song song, nhưng lại không có êke. Vậy làm thế nào để vẽ đường thẳng vuông góc với hai đường kia. Ta hãy lấy một chiếc thước có chia độ. Trước hết ta chọn trên đường biên AB một đoạn EF bằng 30 mm như ở hình vẽ. Sau đó dùng E và F làm tâm vẽ hai cung tròn một cung là thuộc đường có tâm tại E bán kính 50 mm và một cung thuộc vòng tròn tâm F bán kính 40 mm. Hai cung tròn sẽ cắt nhau tại điểm G. Nối FG, góc EFG = 90o. Cắt bỏ phần mảnh gỗ ở phía dưới FG ta sẽ có một đường biên hoàn chỉnh của hình chữ nhật. Dùng phương pháp tương tự ta sẽ có được đường biên phía trên hoàn chỉnh.

Thế tại sao ta khẳng định EFG =90o. Bởi vì tỉ số các cạnh EF : FG: EC = 3 : 4: 5 đây là tam giác đồng dạng với tam giác vuông có ba cạnh 3, 4, 5 trong cạnh dài EG đối diện với góc vuông EFG.

Bây giờ nếu thước chia độ cũng không có thì ta sẽ làm thế nào?
Chúng ta sẽ chọn một thanh gỗ tương đối thẳng, dùng bút chì đánh dấu hai điểm M, N trên thanh gỗ (như hình vẽ). Sau đó đặt thanh gỗ trên tấm gỗ, đặt điểm M ở mép tấm gỗ. Dùng bút chì đánh dấu hai điểm P và Q ngay ở các vị trí M và N trên tấm gỗ.

Sau đó thay đổi phương của thanh gỗ. Giữ cho điểm N bất động. Cho điểm M di động trên biên của tấm gỗ. Dưới điểm M ta đánh dấu điểm R. Kéo dài RQ, trên phần kéo dài ta đặt QS = MN. Nối PS, góc RPS =90o. Dùng phương pháp đơn giản như vừa mô tả ta vẽ được đường vuông góc, cắt tấm gỗ theo đường vuông góc vừa vẽ, ta sẽ có một cạnh hình chữ nhật.
Để chứng minh RPS là góc vuông, ta nối PQ. Vì RQ = PQ = QS

nên các tam giác RQP và SQP là những tam giác cân. Do đó: RPS = RPQ + QPS =PRQ + QSP

Vì các góc RPS,PRS,RSP là các góc trong của tam giác RPS, tổng của chúng là 180o, vì vậy góc = 90o.

Về vấn đề này nhà toán học Trung Quốc Hoa La Canh đã từng bàn đến. Điều này hoàn toàn hiển nhiên đối với hình vuông hoặc hình chữ nhật. Nhưng đối với một tứ giác bất kì thì liệu điều đó có chính xác không?

Xét một tứ giác ABCD bất kì, các đoạn nối các điểm giữa các cạnh là EG và FH cắt nhau tại P, P sẽ là trung điểm của EG và FH. Ta hãy tưởng tượng có 4 quả cầu nhỏ đặt tại các đỉnh A, B, C, D, mỗi quả cầu cho 1 lực tác dụng là 10N (N: đơn vị đo lực, đọc là niutơn). Hợp lực của hai quả cầu đặt tại A, B sẽ cho hợp lực tác dụng tại điểm E, hợp lực tác dụng khoảng trên dưới 20 N; các quả cầu nhỏ C, D cho hợp lực đặt tại điểm G có giá trị gần 20 N. Như vậy bốn quả cầu sẽ cho hợp lực đặt tại trung điểm của EG là đường nối các trung điểm với hợp lực gần 40 N. Cùng lí do tương tự, bốn quả cầu cũng cho hợp lực tác dụng tại trung điểm của FH gần 40 N. Như vậy bốn quả cầu sẽ cho hợp lực tác dụng tại trung điểm của EG và FH là điểm duy nhất và điểm P là trung điểm của EG và FH.

Lại giả sử ta dùng kéo cắt tứ giác theo các đường EG, FH thành bốn mảnh và lấy các điểm H, G, F làm bản lề, kéo căng các mảnh để AH trùng với DH và DG trùng với CG. Do tổng bốn góc trong của tứ giác là 360o, nên

. Lúc cạnh AE của mảnh I trùng với cạnh BE của mảnh thứ II, dễ thấy là lúc bấy giờ ta lại nhận một hình tứ giác mới là một hình bình hành, mà các cạnh đối từng đôi bằng tổng của EG + FH, và bốn góc trong là các góc kề bù nhau. Diện tích hình bình hành mới này rõ ràng bằng diện tích của hình tứ giác cũ nên: