Độ dài của một đồ vật có thay đổi?

Vào buổi tối khi bạn lùi xa ngọn đèn, nếu chú ý, bạn sẽ quan sát một hiện tượng lí thú là độ dài bóng của chính bạn có thay đổi. Khi đứng dưới ánh Mặt Trời, bạn cũng có thể nhận thấy là bóng của bạn tuỳ từng thời gian mà có lúc dài, có lúc ngắn. Bạn có biết tại sao không?

Khi người đang đi, thân người ở trạng thái đứng thẳng. Bạn có thể dùng một đoạn thẳng đứng AB biểu diễn thân người, đường ngang X’X biểu diễn mặt đất, S là vị trí nguồn sáng. Ta vẽ từ S các tia sáng chiếu xuống mặt đất.

Phần lớn các tia sáng đều đến được mặt đất, chỉ có các tia nằm trong miền tam giác ACB là bị thân người chắn mất và trên mặt đất sẽ có bóng người là BC. AC là tia sáng đầu tiên bị chắn lại, nên có thể xem đó là biên giới của chùm tia bị chắn. Góc của tia giới hạn với mặt đất sẽ tạo nên góc α, được gọi là góc chiếu. Chiều cao AB của người không hề thay đổi, thế nhưng khi người chuyển động hoặc khi nguồn sáng di động, độ dài của bóng BC sẽ thay đổi. Các bóng người ở bên trái trang sách từ vị trí A][sub]_B_[ đến vị trí A2B2 sang A3B3 rồi đến vị trí A4B4. Còn ở trang trên biểu thị khi nguồn sáng di động từ vị trí S1 đến vị trí S2, S3 rồi đến S4. Dựa vào hai hình vẽ ta thấy khi AB di động về phía bên trái thì bóng BC càng ngày càng dài, còn khi nguồn sáng S di chuyển từ dưới lên trên thì bóng sẽ ngày càng ngắn. Cho dù AB di động hay nguồn sáng S di động đều có điểm chung là góc chiếu α càng lớn thì ảnh BC càng ngắn, góc chiếu α càng bé thì bóng càng dài. Tuy nhiên có điều cần chú ý là góc α và độ dài của BC không có mối quan hệ tỉ lệ,

ví dụ α nhỏ đi 1/2 thì BC không phải tăng gấp đôi.

Ta biết rằng trong tam giác vuông ta có hệ thức:

AB = BC tangα

Đây là hệ thức tương quan hết sức có ích. Khi đo độ dài của bóng của toà lâu đài, đo góc chiếu người ta có thể tính được chiều cao của toà lâu đài.

Ở tại một công viên nọ có một bức tượng cao 3,5 m, pho tượng lại đặt trên bệ cao 2,46 m. Bạn có biết đứng tại vị trí nào thì góc nhìn pho tượng là lớn nhất?

Chúng ta có thể giải đáp câu hỏi này bằng phương pháp hình học. Bạn hãy vẽ trên mặt giấy một đường nằm ngang 1 biểu diễn mặt đất, ta vẽ trên 1 một đoạn thẳng đứng gốc A. Trên đường thẳng đứng ta chọn ba điểm A’, B, C theo một tỉ lệ chọn trước AA’ có độ dài bằng khoảng cách của mắt người đến mặt đất (giả sử chiều cao này là 1,5 m), AB có độ dài bằng chiều cao của bệ là 2,46 m, BC có độ dài bằng chiều cao của pho tượng là 3,5m. Chọn O’ là điểm giữa đoạn BC, vẽ đường vuông góc với BC qua O’ là O’m. Qua A’ vẽ A’m’ song song với

đường nằm ngang. Lấy B hoặc C làm tâm vẽ vòng tròn bán kính O’A’, vòng tròn sẽ cắt đường thẳng m ở điểm O bên phải điểm O’. Lại lấy O làm tâm, vẽ vòng tròn bán kính O’A’, vòng tròn sẽ cắt đường thẳng m ở điểm O bên phải điểm O’. Lại lấy O làm tâm, vẽ vòng tròn bán kính O’A’, đường tròn này phải đi qua hai điểm B và C và tiếp xúc với đường m’ tại M’. Qua M’ vẽ đường thẳng vuông góc với C, chân của đường vuông góc này là M. M chính là điểm mà tại đó người ta sẽ nhìn pho tượng với góc nhìn lớn nhất.

Tại sao vậy? Giả sử có một người quan sát đứng ở bên phải điểm A, ví dụ tại điểm N. Qua N ta vẽ đường vuông góc cắt m’ tại điểm N’. Góc BN’C là góc nhìn của người quan sát đứng tại N quan sát bức tượng. Vẽ BN’, BN’ sẽ cắt vòng tròn tại điểm D, nối CD, góc BDC là góc ngoài của tam giác CDN’ rõ ràng là lớn hơn góc trong không liền kề là BN’C. Mặt khác góc BM’C (của người quan sát đứng tại M) là góc cùng chắn cung BC với góc BDC, nên BM'C= BDC, vì vậy BM'C > BN'C nên M là điểm mà người quan sát có góc nhìn pho tượng là lớn nhất.

Từ hình vẽ ta cũng có thể tính được độ dài của AM là 2,1m và là 40o.

Thế liệu có thể tìm công thức tính toán chính xác được không?

Giả sử bức tượng có chiều cao BC = h, bệ tượng có chiều cao AB = p. Người quan sát có tia nhìn từ độ cao MM’= e. Khi e < p thì góc nhìn lớn nhất của người quan sát với pho tượng đứng tại điểm M thì khoảng cách M từ M đến chân pho tượng A sẽ là: